Народився 9 червня 1989 р. в селі Почино-Софіївка Магдалинівського району Дніпропетровської області.
Родина: батько – Фисун Павло Іванович, мама – Фисун Наталя Миколаївна та молодший брат – Фисун Олександр Павлович, проживають в Магдалинівці.
З 1996 до 2003 року навчався в Почино-Софіївській середній школі.
З 2003 до 2004 - в Магдалинівській середній школі.
Закінчив 9 класів, далі вступив до коледжу електрифікації (2004 - 2008 роки) Дніпропетровського державного аграрно-економічного університету, за спеціальністю технік – електрик.
Працював у товаристві з обмеженою відповідальністю «Агро-Овен».
У 2018 році одружився. Дружина - Фисун Юлія Миколаївна. Разом виховували двох дітей – доньку Христину та сина Яна.
Олексій був мобілізований 23 березня 2022 року у військову частину
А 4350, служив розвідником-санітаром третього розвідувального відділення розвідувального взводу 2-го аеромобільного батальйону. Звання – солдат.
Загинув (підірвався на міні) 13 липня 2022 року під час виконання бойового завдання з розвідки, в районі населеного пункту Миколаївка Бериславського району Херсонської області.
Нагороджений орденом «За мужність» ІІІ ступеня (посмертно), 30.05. 2023 року.
Похований в селищі Магдалинівка Самарівського району Дніпропетровської області.